Pierre Le Boudec (Institut de Mathématiques de Jussieu)

Répartition des points rationnels sur des surfaces de del Pezzo singulières de degré 4

Soit V &sube Pn une surface de del Pezzo singulière et soit U le complémentaire des droites
contenues dans V. La conjecture de Manin prévoit le comportement asymptotique du
nombre de points rationnels de hauteur bornée sur U, c'est-à-dire de

NU,H(B) = #{x &isin U(Q), H(x) &le B},                                                                                                                                    
où H est définie par
H(x0 : ... : xn) = max{|xi|, 0 ≤ i ≤ n}                                                                                                                                    
lorsque les xi sont premiers entre eux. Nous nous intéressons aux surfaces de del Pezzo
singulières de degré 4. Ces surfaces peuvent être définies comme l'intersection de deux
quadriques dans P4 et à isomorphisme sur Q près il en existe quinze types différents
uniquement déterminés par leurs singularités et le nombre de droites qu'elles contiennent.
La conjecture de Manin a déjà été prouvée pour sept de ces types. Nous montrerons
comment nous avons obtenu l'équivalent de NU,H(B) prévu par la conjecture de Manin
dans le cas de deux nouvelles surfaces ayant pour types de singularité respectifs 3 A1 et
A1 + A2.