Bruno Martin, Nancy 1

Constante optimale dans l'inégalité de
Turán-Kubilius pour les entiers friables
(travail en commun avec G. Tenenbaum)

Un entier n est dit y-friable lorsque son plus grand facteur premier P(n) n'excède pas y. On note classiquement
S(x,y) = {n ≤ x, P(n) ≤ y} l'ensemble des entiers y-friables n'excédant pas x et Ψ(x,y) son cardinal. L'étude de
la restriction des fonctions arithmétiques aux entiers friables est liée au modèle de Kubilius de la théorie
analytique des nombres. Dans ce contexte, la variance empirique friable, soit

          \begin{displaymath}V_f(x,y):= {1\over\Psi (x,y)}\sum_{n\in S(x,y)}\Big\{f(n)- {1\over\Psi (x,y)}\sum_{n\in S(x,y)}f(n)\Big\}^2\quad(1\le y \le x),\end{displaymath}
constitue un élément essentiel de la description probabiliste de  f  comme variable aléatoire sur  S(x,y).

Le cas des fonctions additives est particulièrement intéressant : en comparant, uniformément en  f, la quantité
Vf(x,y) à la variance V(Zf,x,y) d'un modèle probabiliste Zf,x,y, on obtient une mesure quantitative de l'écart entre
la théorie probabiliste des nombres et celle des probabilités. Dans ce contexte, La Bretèche et Tenenbaum ont
récemment établi que la quantité

                                                  \begin{displaymath}C(x,y):=\sup_{f \ additive} {V_f(x,y)\over V(Z_{f,x,y})},\end{displaymath}

est uniformément bornée dans le domaine 2 ≤ y ≤ x généralisant ainsi l'inégalité classique de Turán-Kubilius qui
correspond au cas x = y. Ils établissent de plus que C(x,y) = 1 + o(1) lorsque (log y)/log x + (log x)/y → 0.

Nous déterminons, pour tout u ≥ 1, la valeur exacte de C(u) := limx → ∞C(x, x1/u). Élaborant une méthode due à
Hildebrand, nous développons une approche reposant sur la théorie des opérateurs auto-adjoints d'un espace de
Hilbert.