Caspard
Le Jeudi 25 Novembre 1999 à 14h30
N. Caspard
(LRI et Université Paris I)
Une introduction aux treillis : l'opération de duplication
Résumé/Abstract :
Après avoir rappelé les définitions d'un treillis
et de certains éléments centraux des treillis, les
éléments inf- ou sup-irréductibles, nous
présentons trois relations binaires (issues de l'analyse des treillis,
dite "analyse de concepts") particulièrement
fortes, définies entre les sup- et les inf-irréductibles
d'un treillis, et que l'on appelle "relations-flèches".
Nous montrons sur des exemples comment ces relations permettent de
caractériser simplement des classes fondamentales et classiques
de treillis, tels que les treillis distributifs ou booléens.
Dans ce cadre, nous développons notamment le cas des treillis
obtenus par "duplications" successives d'ensembles convexes, où la
duplication est une opération constructive très simple qui,
s'appliquant sur un treillis, permet d'en obtenir un second "plus gros".
Cette opération engendre la classe - notée 1[C] - des treillis
obtenus par duplications de convexes, à partir du treillis à
un élément. Nous terminons en montrant, grâce aux
relations-flèches, que certaines classes très connues
de treillis s'avèrent être des sous-classes fondamentales
de la classe 1[C] (treillis des permutations, treillis des fermetures,
treillis distributifs, booléens ...).