On donne une démonstration combinatoire directe de la formule de Harer-Zagier sur les nombres de manières d'obtenir une surface de Riemann de genre g par identification par paires des côtés d'un 2m-gone. Notre méthode reprend l'approche combinatoire imaginée par Harer et Zagier et évite d'utiliser l'intégration sur un ensemble gaussien de matrices aléatoires. En fait, nous montrons qu'il suffit de relier deux théorèmes fondamentaux de la combinatoire énumérative, à savoir le calcul des arborescences remontant à Cayley et le théorème dit BEST sur les cycles eulériens. S'il reste assez de temps, nous esquisserons une application à la génération aléatoire des cartes de genre g.