Séries et produits infinis liés au développement des entiers

J.-P. Allouche
CNRS, LRI, Bâtiment 490
F-91405 Orsay Cedex (France)

Nous montrons comment calculer plusieurs séries et produits infinis dont voici quelques exemples simples mais emblématiques : notons $ s_2(n)$ la somme des chiffres binaires de l'entier $ n$, et soit $ \gamma$ la constante d'Euler, alors

\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \displaystyle\prod_{n \geq 0}\left(\frac{... ...displaystyle\frac{\gamma + \log \tfrac{4}{\pi}}{2}. \end{array}\end{displaymath}

Ces séries et produits se trouvent dans plusieurs articles de l'auteur, H. Cohen, M. Mendès France, J. Shallit, J. Sondow. Nous évoquerons au passage d'autres résultats, par exemple trois formules dues respectivement à Vacca, Catalan et Ramanujan :

\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^... ...^2} \sum_{k \geq 1} x^{3^k} dx &=& 1 - \gamma. \par\end{array}\end{displaymath}