Grâce aux travaux de Foissy, on sait que toutes les algèbres de Hopf bidendriformes sont isomorphes à leur duales, en particulier WQSym. Dans cette thèse, nous avons montré comment construire un isomorphisme bidendriforme combinatoire explicite entre WQSym et sa duale. Pour ceci nous représentons deux décompositions récursives des mots tassés par des nouvelles familles combinatoire appelées forêts biplanes rouge et bleue. On obtient alors deux bases de WQSym et sa duale. L'intérêt de ces bases est qu'en prenant des sous-ensembles explicites, on obtient des bases d'éléments primitifs et totalement primitifs. Nous combinons soigneusement les forêts rouges et bleues pour obtenir des forêts bicolores. Une simple recoloration des arêtes nous permet d'obtenir le premier automorphisme bidendriforme explicite de WQSym.
Jean Dubuffet, Arbre biplan (version I) août 1968, époxy peint au
polyuréthane (1ère épreuve),
72 x 61 x 48 cm, coll. Fondation
Dubuffet/© A.D.AG.P. Paris
Ma recherche se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique. J'étudie les algèbres de Hopf sur des objets combinatoires comme les permutations, les mots tassés ou encore les fonctions de parking.
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